Vamos a hacer un poco de ciencia-ficción. Imagínate una rueda cuadrada y fíjate en uno de los vértices. ¿Qué trayectoria sigue al dar la rueda una vuelta?
Si suponemos que el radio del cuadrado mide 1 metro, ¿qué longitud recorre un vértice en una vuelta completa?
Puestos a imaginar, podemos pensar lo que pasaría si las ruedas son triángulos equiláteros. Y lo mismo con cualquier otro polígono regular.

Ésta sería la trayectoria descrita por un vértice de una rueda cuadrada: 

Y ésta cuando la rueda es un triángulo equilátero:

Con ruedas hexagonales:

Una rueda con forma de dodecágono ya se parece a una rueda redonda: el origen de ...

La Cicloide

La curva cicloide se define como la trayectoria que recorre un punto cualquiera de la circunferencia cuando ésta da un giro completo.

Como se puede comprobar en las animaciones anteriores, poniendo a rodar polígonos regulares y fijándonos en la trayectoria descrita por uno de sus vértices, cuanto mayor sea el número de lados del polígono más se parecerá la trayectoria a la cicloide.

Nuestro trabajo (1,95 Mb) ha consistido en calcular la longitud de la trayectoria y el área encerrada correspondientes a polígonos regulares de cada vez más lados con los resultados siguientes:

Como se puede comprobar la longitud de la trayectoria se aproxima a 8 y el área a 3. PI = 9.424777961

De modo que:

La longitud de la cicloide es 8 veces la longitud del radio

y el área es tres veces la del círculo que genera a esta curiosa curva

Desde aquí puedes descargar un resumen de 5 folios (461 Kb) de nuestro trabajo.

Y desde aquí una presentación (1,06 Mb) en Power Point del mismo.